Модуль и аргумент комплексного числа.

Пусть комплексное число $z=a+bi$ изображается на плоскости точкой $M(a,b)$. Длина отрезка $OM$ называется **модулем** числа $z$. Если $z\neq0$, то угол между положительным направлением действительной оси и отрезка $OM$ называется **аргументом** числа $z$. У числа $0$ аргумент не определен. Модуль комплексного числа $z$ обозначается через $|z|$, а аргумент - через $\text{arg}(z)$. Имеем $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. !Модуль и аргумент комплексного числа.svg

- $z \in \mathbb{R} \Rightarrow z = a + 0i \Rightarrow |z| = \sqrt{a^{2} + 0^{2}} = |a|$ - $\text{arg}(z) = \varphi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Такое соглашение принимается, чтобы при непрерывном движении точки по комплексной плоскости ее аргумент изменялся непрерывно

1. $|x|=|\overline{x}|$ 2. $x \cdot \overline{x}=|x|^{2}$ 3. $|x+y|\leq |x|+|y|$ 4. $|xy|=|x| \cdot |y|$

**Свойства 1 и 2:** Пусть $x=a+bi$. Тогда: $$|\overline{x}|=|a-bi|=\sqrt{a^{2}+(-b)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=|x|$$ $$x \cdot \overline{x}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}=|x|^{2}$$ **Свойство 3:** Обозначим через $A,B,C$ точки на плоскости, отвечающие числам $x,y$ и $x+y$ соответственно при геометрической интерпретации комплексных чисел. Если точки $A, B, O$ не лежат на одной прямой, то по неравенству треугольника имеем: $$|x+y|=|OC|<|OA|+|AC|=|OA|+|OB|=|x|+|y|$$ Пусть теперь точки $A,B,O$ лежат на одной прямой. Если $A,B$ лежат по одну сторону от точки $O$ (центральный рисунок), то очевидно: $$|x+y|=|OC|=|OA|+|OB|=|x|+|y|$$ Пусть точки $A,B$ лежат по разные стороны от точки $O$ (правый рисунок). Б.О.О., $|x|\geq|y|$. Тогда точка $C \in OA$: $$|x+y| = |OC| \leq |OA| = |x| \leq |x|+|y|$$ !Модуль суммы комп.чисел.svg **Свойство 4:** Можно проверить прямыми вычислением, но проще вывести его из свойства 2). $$|xy|^{2} = xy \cdot \overline{xy} = xy \overline{xy} = x \overline{x}\ \cdot y \overline{y} = |x|^{2} \cdot |y|^{2} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow |xy|=|x| \cdot |y|$$ Все свойства доказаны $\square$